은행가의 반올림 (Banker’s rounding)

일을 하다가 상식적으로 말도 안되는(?) 이상한 반올림 방법을 알게 되었는데,

곰곰이 생각해보니 정말 합리적이라는 생각이 들어서 적어둔다. (사실 처음 들으면 이제까지의 수학을 모두 부정하는 이상한 이론으로 들린다)

0.5를 반올림하면 0이 되고, 1.5을 반올림하면 2가 된다.

이런 공식이 나오게 된 일화1는 다음과 같다.

미국 국세청에서 국민들에게 소송을 당해서 패한 사건이 있었습니다.

년도는 잘 모르겠지만 규약 제정일이 1985년이니까 대충 그 근처리라 생각됩니다.

국민들은, 국세청에서 반올림을 적용해 세금을 거두었기 때문에 한가운데인 0.5 경계에 걸친 사람들은 무조건 올림한 세금을 내게 되어 부당 이득을 취했다고 주장하였습니다.

이에 반해 국세청은 반올림에 의하여 절반은 올리고 절반은 내렸기 때문에 부당 이득을 취하지 않았다고 주장했지만, 결국은 패소하게 됩니다.

그 이후 국세청에서는 새로운 반올림 규칙에 대하여 고민하게 됩니다.

그 결과 첫번째 0.5 경계의 숫자는 내리고 그 다음 숫자는 올리는 것을 반복하는 규칙을 만들어 냈습니다.

이것을 규칙화 시킨 것이 ‘가장 가까운 짝수로 반올림한다’는 내용인 것입니다.

5.5 경계에 걸린 사람은 6.0의 세금을 내야하기 때문에 손해이지만,

4.5 경계에 걸린 사람은 4.0의 세금을 내기 때문에 둘이 서로 상쇄되어 국세청의 부당 이득이 사라지게 됩니다.

생각해본 적이 없었는데, 정말로 공정하지 않은 계산이었던 것이다.

조금더 수학적(?)인 내용은 아래 글2이 잘 설명하고 있다.

반올림문제가 그리 큰 문제가 아닌 것처럼 보이지만 수 백억 원이 오고 가는 금융권에서는 이것으로 인해 적지 않은 금액의 계산이 달라집니다.

대개의 프로그래밍 언어들은 반올림의 방법으로서 “Banker’s rounding”를 사용합니다.

많은 사람들이 이 반올림 방법이 상식적으로 틀린 결과를 돌려주기 때문에 싫어하지만 아이러니컬하게도 이것은 가장 정확한 라운딩(rounding)방법으로서 개발된 것입니다.

이 방법은 0.5이하는 버리고 0.5이상이면 올립니다. 그리고 정확하게 0.5이면 가장 가까운 짝수로 올립니다.

가령 12.5에서 0.5는 버려지고 12로 만들지만 13.5는 0.5를 더하여 14가 됩니다.

Bankers rounding은 Gauss법을 사용하는 것으로 이는 0.5인 경우 2로 나누어질 수 있는 가장 가까운 수로 반올림 한다는 것입니다.

1.5 is rounded to 2
2.5 is rounded to 2
3.5 is rounded to 4
4.5 is rounded to 4

종종 이러한 방법이 일상적인 반올림(Standard Rounding) 상식과 어긋나지만 이 방법은 다음과 같은 정당성을 가집니다.

가령 12.0부 터 13.0사이를 0.1씩의 간격으로 나누면 9개의 값이 들어갑니다.

12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5, 12.6, 12.7, 12.8, 12.9 그리고 이 값들은 반올림의 대상이 됩니다.

상식적인 반올림이라면 9개의 숫자 중 5개는 올리고 4개는 버리게 됩니다.

그러나 이 방법은 공평하지 않다.

1/9만큼 한쪽은 더 가지고 한쪽은 부족하게 됩니다.

그러나 0.5에서 가장 가까운 짝수로 옮기도록 하게 되면 어떻게 될까요?

12.0 부터 14.0까지 18개의 반올림 대상이 생기고 버리는 쪽이나 올리는 쪽 모두 9개의 숫자를 나누어 갖게 됩니다.

따라서 한쪽에 치우치지 않는 공평한 셈이 됩니다.

‘은행가의 반올림’이라고 해서 마치 수학적으로는 반하는데, 경제학에서만 사용할 것 같은데 그렇지는 않다.

실제로 컴퓨터 연산에서도 아래3처럼 사용되고 있다.

ROUND_HALF_EVEN

Round towards the “nearest neighbor” unless both neighbors are equidistant, in which case, round towards the even neighbor.

Behaves as for ROUND_HALF_UP if the digit to the left of the discarded fraction is odd; behaves as for ROUND_HALF_DOWN if it is even.

This is the rounding mode that minimizes cumulative error when applied repeatedly over a sequence of calculations,

and is sometimes referred to as Banker’s rounding.

또, 엑셀이나 C#등에서도 기본 Rounding으로 제공하고 있다고 한다.

 

 

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